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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 8 - Integrales

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5. Calcular las siguientes integrales utilizando el método de sustitución:
e) ∫sen⁡5(x3)cos⁡(x3)dx\int \operatorname{sen}^{5}\left(\frac{x}{3}\right) \cos \left(\frac{x}{3}\right) d x

Respuesta

En este caso, la integral que queremos resolver es: ∫sin⁡5(x3)cos⁡(x3)dx\int \sin^{5}\left(\frac{x}{3}\right) \cos\left(\frac{x}{3}\right) dx Vamos a tomar la sustitución: u=sin⁡(x3)u = \sin\left(\frac{x}{3}\right) du=cos⁡(x3)⋅13dx⇒3 du=cos⁡(x3)dxdu = \cos\left(\frac{x}{3}\right) \cdot \frac{1}{3} dx \Rightarrow 3 \, du = \cos\left(\frac{x}{3}\right) dx Reescribimos nuestra integral en términos de uu: ∫sin⁡5(x3)cos⁡(x3)dx=3∫u5du\int \sin^{5}\left(\frac{x}{3}\right) \cos\left(\frac{x}{3}\right) dx = 3 \int u^{5} du Y ahora integramos: 3∫u5du=3⋅16u6+C=12u6+C3\int u^{5} du = 3 \cdot \frac{1}{6}u^{6} + C = \frac{1}{2}u^{6} + C No te olvides que tenemos que volver a la variable original xx: 12u6+C=12sin⁡6(x3)+C\frac{1}{2}u^{6} + C = \frac{1}{2}\sin^{6}\left(\frac{x}{3}\right) + C Por lo tanto, el resultado de la integral es: ∫sin⁡5(x3)cos⁡(x3)dx=12sin⁡6(x3)+C\int \sin^{5}\left(\frac{x}{3}\right) \cos\left(\frac{x}{3}\right) dx = \frac{1}{2}\sin^{6}\left(\frac{x}{3}\right) + C
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